Seminar (BaM-DAM-s, MaM-DASA-s, MaM-DGAK-s)

Seminar: Spiegelungsgruppen und Coxeter Gruppen

Wintersemester 2021/22

Prof. Raman Sanyal, Aenne Benjes





Aktuelles

Was

Die symmetrische Gruppe, also die Menge aller Permutation von \( 1,\dots,n\) zusammen mit der Komposition, kann aus verschiedenen Perspektiven betrachtet werden. Neben der kombiantorischen/diskreten Perspektive ist die geometrische Perspektive zB über die Symmetrien von regulären Simplexen (regulären Dreiecken, Tetraedern etc.) motiviert. Die Gruppe operiert auf \(\mathbb{R}^n\) durch Permutation von Koordinaten. Die erzeugenden Transpositionen korrespondieren zu Reflektionen in Hyperebenen. Es gibt genau \(\tbinom{n}{2}\) solche Spiegelungsebenen die den Raum in \(n!\) offene Kegel zerlegen. Aus dieser Zerlegung des Raums lassen sich viele Einsichten zur Kombinatorik und Algebra der symmetrischen Gruppe ziehen. In diesem Seminar wollen wir uns mit Gruppen beschäftigen die einen ähnlichen geometrischen Zugang zu ihrer Kombinatorik und Algebra erlauben, den Coxeter-Gruppen. Um ihre Definition zu motivieren und ihre grundlegenden Konzepte schätzen zu können, beschäftigen wir uns im ersten Teil des Seminars mit endlichen Spiegelungsgruppen, also endlichen Gruppen von linearen Transformationen, die von Spiegelungen in Hyperebenen erzeugt werden. Unter ihnen befinden sich insbesondere die Symmetriegruppen von regulären Polytopen (regulären Polygonen, den platonischen Körpern und ihren höher-dimensionalen Verwandten), Weyl-Gruppen und mehr. Insbesondere werden wir uns mit der Beschreibung durch Wurzelsysteme und deren Klassifikation beschäftigen. Wir lernen die Bruhat und die schwache Ordnung kennen, die Verallgemeinerungen von Inversionen, Abstiegen (descents) und anderen diskreten Konzepten von Permutationen erlaubt. Im zweiten Teil kommen wir zu allgemeinen Coxeter Gruppen und ihrer Kombinatorik.

Literatur

Wir werden uns hauptsächlich an den beiden folgenden Büchern orientieren. Beide Bücher sind als eBook verfügbar.

Wer

Voraussetzungen für das Seminar ist Lineare Algebra, diskrete Mathematik sowie Grundlagen der Gruppentheorie (zB aus LA2). Für ein paar der (fortgeschrittenen) Themen ist Wissen zu Polytopen/Polyedern, Hyperebenen Arrangements und Halbordnungen hilfreich.

Am wichtigsten ist Motivation! Wir wollen uns durch zusammenhängende Vorträge ein grundlegendes Verständnis von Coxeter-Gruppen erarbeiten. Damit das gelingt müssen alle Teilnehmer*innen aktiv im Seminar mitarbeiten. Insbesondere wollen wir durch Bespiele die gelernten Konzepte mit Leben füllen und nach Möglichkeit in ein Coxeter-Wiki einfließen lassen.

Wann und wo

Grundsätzlich möchten wir das Seminar in Präsenz abhalten aber wir passen uns der Situation im Winter und auch den Wünschen der Teilnehmer*innen an.

Termin ist Montag 16-18 Uhr im Seminarraum 110.

Organisation / Spielregeln

Wird bei der Vorbesprechung bekannt gegeben.



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