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Seminar (BaM-DAM-s, MaM-DASA-s, MaM-DGAK-s)
Seminar: Spiegelungsgruppen und Coxeter Gruppen
Wintersemester 2021/22
Aktuelles
- Die Vorbesprechung fand bereits statt und die Themen sind
vergeben. Sollten Sie dennoch Interesse haben (ggf. als Zuhörer)
teilzunehmen, dann schicken Sie eine Email an Prof. Sanyal
(sanyal@math.uni-...).
Was
Die symmetrische Gruppe, also die Menge aller Permutation von 1,…,n zusammen mit der Komposition, kann aus verschiedenen Perspektiven
betrachtet werden. Neben der kombiantorischen/diskreten Perspektive ist die
geometrische Perspektive zB über die Symmetrien von regulären Simplexen
(regulären Dreiecken, Tetraedern etc.) motiviert. Die Gruppe operiert auf
Rn durch Permutation von Koordinaten. Die erzeugenden
Transpositionen korrespondieren zu Reflektionen in Hyperebenen. Es gibt genau
\tbinom{n}{2} solche Spiegelungsebenen die den Raum in n! offene Kegel
zerlegen. Aus dieser Zerlegung des Raums lassen sich viele Einsichten zur
Kombinatorik und Algebra der symmetrischen Gruppe ziehen. In diesem Seminar
wollen wir uns mit Gruppen beschäftigen die einen ähnlichen geometrischen
Zugang zu ihrer Kombinatorik und Algebra erlauben, den
Coxeter-Gruppen. Um ihre Definition zu motivieren und ihre
grundlegenden Konzepte schätzen zu können, beschäftigen wir uns im ersten Teil
des Seminars mit endlichen Spiegelungsgruppen, also endlichen Gruppen
von linearen Transformationen, die von Spiegelungen in Hyperebenen erzeugt
werden. Unter ihnen befinden sich insbesondere die Symmetriegruppen von
regulären Polytopen (regulären Polygonen, den platonischen Körpern und ihren
höher-dimensionalen Verwandten), Weyl-Gruppen und mehr. Insbesondere werden
wir uns mit der Beschreibung durch Wurzelsysteme und deren Klassifikation
beschäftigen. Wir lernen die Bruhat und die schwache Ordnung kennen, die
Verallgemeinerungen von Inversionen, Abstiegen (descents) und anderen
diskreten Konzepten von Permutationen erlaubt. Im zweiten Teil kommen wir zu
allgemeinen Coxeter Gruppen und ihrer Kombinatorik.
Literatur
Wir werden uns hauptsächlich an den beiden folgenden Büchern orientieren.
Beide Bücher sind als eBook verfügbar.
Wer
Voraussetzungen für das Seminar ist Lineare Algebra, diskrete Mathematik sowie
Grundlagen der Gruppentheorie (zB aus LA2). Für ein paar der
(fortgeschrittenen) Themen ist Wissen zu Polytopen/Polyedern, Hyperebenen
Arrangements und Halbordnungen hilfreich.
Am wichtigsten ist Motivation! Wir wollen uns durch zusammenhängende
Vorträge ein grundlegendes Verständnis von Coxeter-Gruppen erarbeiten. Damit
das gelingt müssen alle Teilnehmer*innen aktiv im Seminar mitarbeiten.
Insbesondere wollen wir durch Bespiele die gelernten Konzepte mit Leben füllen
und nach Möglichkeit in ein Coxeter-Wiki einfließen lassen.
Wann und wo
Grundsätzlich möchten wir das Seminar in Präsenz abhalten aber wir passen uns
der Situation im Winter und auch den Wünschen der Teilnehmer*innen an.
Termin ist Montag 16-18 Uhr im Seminarraum 110.
Organisation / Spielregeln
Wird bei der Vorbesprechung bekannt gegeben.
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