Was

Diese Vorlesung gibt eine Einführung in die Algebraische Kombinatorik, also in das Studium von diskreten Strukturen mit Hilfe von Algebra. Im Zentrum werden dabei partiell geordnete Mengen (Posets) und hereditäre Mengensysteme (Simplizialkomplexe, Hypergraphen) stehen. Zum Beispiel:

• Teilmengen von Kanten eines Graphen, die keinen Kreis enthalten
• Teilmengen von Knoten eines Graphen die paarweise keine Kanten haben (stabile Mengen)
• Triangulierungen von Bällen, Sphären, etc.
• Untergruppen einer gegebenen (endlichen) Gruppe
• Untervektorräume eines gegebenen Vektorraums (über einem endlichen Körper)

Wann und wo

Spielregeln

• Es wird Übungsblätter geben. Die Bearbeitung der Übungsblätter ist nicht verpflichtend aber wird dringend empfohlen. Voraussichtlich wird es ein Bonussystem geben.
• Abhängig von der Anzahl Teilnehmer wird die Abschlussprüfung mündlich oder schriftlich sein.
• Es wird weiter unten handschriftliche Vorlesungsnotizen geben. Diese Notizen sind ohne ein Besuch der Vorlesung vermutlich nicht verständlich, aber sollten helfen den Stoff aus der Vorlesung nachvollziehen zu können.
• Im Rahmen der Übungen werden wir Sage verwenden. Um einen möglichst reibungsfreien Ablauf zu ermöglichen, ist es hilfreich, wenn Sie, soweit möglich, sich Sage auf Ihre Laptops installieren würden. Alternativ ist es auch möglich, mit einem Account bei Cocalc Sage zu verwenden.

Übungsaufgaben

Abgabe: 19. April	Blatt 1
Abgabe: 26. April	Blatt 2
Abgabe: 3. Mai	Blatt 3
Abgabe: 10. Mai	Blatt 4
Abgabe: 17. Mai	Blatt 5
Abgabe: 24. Mai	Blatt 6
Abgabe: 31. Mai	Blatt 7
Abgabe: 7. Juni	Blatt 8
Abgabe: 14. Juni	Blatt 9
Abgabe: 21. Juni	Blatt 10
Abgabe: 28. Juni	Blatt 11

Was bisher geschah

12/14. April	Graphenfärbungen, chromatische Polynome; Beweis/Berechnung mit Inklusion-Exklusion; experimentelle Beobachtungen: Koeffizienten alternieren im Vorzeichen und sind unimodal/log-konkav; Komb Interpretation bei vollständigen Graphen: Stirling-Zahlen der ersten Art; Bessere Berechnung über ungeordnete Partitionen der Knotenmenge Partiell geordnete Mengen und kombinatorisch-wichtige Beispiele; Simplizialkomplexe kombinatorisch und geometrisch; f-Vektoren und h-Vektoren; Upper Bound Conjecture (UBC) für Sphären; Ausblick: Kombinatorische Eigenschaften mit Algebra
19/21. April	Partiell geordnete Mengen; Ketten, Rangfuntionen, graduierte Posets; Rang-erzeugenede Funktionen; Beispiele: Ketten, Anti-Ketten, Teilbarkeit, Bool'sche Verbände Direkte Produkte von Posets; Verband der Unterräume eines Vektorraums über einem endlichen Körper; q-Fakultäten und q-Binomialkoeffizienten; Infimum/Supremum in Posets; Meet/Join-Semilattices; algebraische Charakterisierung
26/28. April	Distributive Verbände; Bsp: Partitionen und Young's Lattice; Ringe von Mengen; Ordnungsideale und Birkhoff-Verband; Fundamentalsatz: Jeder distributive Verband ist isomorph zu einem Birkhoff-Verband. Beispiele; Young Diagramme; Distributive Verbände sind graduiert; Modulare Verbände; Dedekinds Transpositions-Prinzip; Modulare Verbände sind graduiert; Möbius Funktionen
3/5.Mai	Möbius Funktionen und Möbius Inversion; Zusammenhang zu Inklusion-Exklusion, zahlenth. Möbiusinversion; Ketten und Produkte von Posets; Schnittverband und die Möbiusfunktion über abgeschlossene Mengen Inzidenzalgebra; Ordnungspolynome; Multiketten von Ordnungsidealen; Potenzen der Zeta-Funktion
10/12.Mai	Zeta Polynome; Halbgruppenalgebren und die Möbiusalgebra; Satz von Weisner; Crosscut Theorem; Möbiusfunktion von distributiven Verbänden
17/19.Mai	Reziprozität von Ordnungspolynomen; Möbius-Algebren von Posets und Bewertungen auf distributiven Verbänden Semimodulare Verbände
24.Mai	Geometrische Verbände und Matroide; lineare Matroide, Vektor Matroide, Transversal Matroide; Kryptomorphismen
31.Mai/2.Juni	Mehr Kryptomorphismen: Rang Funktionen und Hüllenoperatoren; Lattice of flats; Geometrische Verbände Graphische Matroide und Partitionsverbände; Deletion/Contraction; Charakteristische Polynome von Matroide und Posets; Hyperebenen Arrangements und der 'Finite Field Trick'

Literatur

Lectures on polytopes. Günter Ziegler

Combinatorics and commutative algebra. Richard Stanley

Elements of algebraic topology. James Munkres

Combinatorial commutative algebra. Ezra Miller, Bernd Sturmfels

Twenty-four hours of local cohomology. Iyengar et al

Hopf Algebras in Combinatorics. Darij Grinberg, Victor Reiner

Combinatorial Reciprocity Theorems. Matthias Beck, Raman Sanyal

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