Diese Vorlesung gibt eine Einführung in die Algebraische Kombinatorik, also in das Studium von diskreten Strukturen mit Hilfe von Algebra. Im Zentrum werden dabei partiell geordnete Mengen (Posets) und hereditäre Mengensysteme (Simplizialkomplexe, Hypergraphen) stehen. Zum Beispiel:
Vorlesung: | Dienstag | 10 - 12 Uhr | RM10 903 |
Donnerstag | 10 - 12 Uhr | RM10 903 | |
Übung: | Donnerstag | 14 - 16 Uhr | RM10 901 |
Abgabe: 19. April | Blatt 1 |
Abgabe: 26. April | Blatt 2 |
Abgabe: 3. Mai | Blatt 3 |
Abgabe: 10. Mai | Blatt 4 |
Abgabe: 17. Mai | Blatt 5 |
Abgabe: 24. Mai | Blatt 6 |
Abgabe: 31. Mai | Blatt 7 |
Abgabe: 7. Juni | Blatt 8 |
Abgabe: 14. Juni | Blatt 9 |
Abgabe: 21. Juni | Blatt 10 |
Abgabe: 28. Juni | Blatt 11 |
12/14. April |
Graphenfärbungen, chromatische Polynome; Beweis/Berechnung mit
Inklusion-Exklusion; experimentelle Beobachtungen: Koeffizienten
alternieren im Vorzeichen und sind unimodal/log-konkav;
Komb Interpretation bei vollständigen Graphen: Stirling-Zahlen
der ersten Art; Bessere Berechnung über ungeordnete Partitionen
der Knotenmenge Partiell geordnete Mengen und kombinatorisch-wichtige Beispiele; Simplizialkomplexe kombinatorisch und geometrisch; f-Vektoren und h-Vektoren; Upper Bound Conjecture (UBC) für Sphären; Ausblick: Kombinatorische Eigenschaften mit Algebra |
19/21. April |
Partiell geordnete Mengen; Ketten, Rangfuntionen, graduierte
Posets; Rang-erzeugenede Funktionen; Beispiele: Ketten,
Anti-Ketten, Teilbarkeit, Bool'sche Verbände Direkte Produkte von Posets; Verband der Unterräume eines Vektorraums über einem endlichen Körper; q-Fakultäten und q-Binomialkoeffizienten; Infimum/Supremum in Posets; Meet/Join-Semilattices; algebraische Charakterisierung |
26/28. April |
Distributive Verbände; Bsp: Partitionen und Young's Lattice;
Ringe von Mengen; Ordnungsideale und Birkhoff-Verband;
Fundamentalsatz: Jeder distributive Verband ist isomorph zu
einem Birkhoff-Verband.
Beispiele; Young Diagramme; Distributive Verbände sind graduiert; Modulare Verbände; Dedekinds Transpositions-Prinzip; Modulare Verbände sind graduiert; Möbius Funktionen |
3/5.Mai |
Möbius Funktionen und Möbius Inversion; Zusammenhang zu
Inklusion-Exklusion, zahlenth. Möbiusinversion; Ketten und
Produkte von Posets; Schnittverband und die Möbiusfunktion über
abgeschlossene Mengen
Inzidenzalgebra; Ordnungspolynome; Multiketten von Ordnungsidealen; Potenzen der Zeta-Funktion |
10/12.Mai |
Zeta Polynome; Halbgruppenalgebren und die Möbiusalgebra;
Satz von Weisner; Crosscut Theorem; Möbiusfunktion von distributiven Verbänden |
17/19.Mai |
Reziprozität von Ordnungspolynomen; Möbius-Algebren von
Posets und Bewertungen auf distributiven Verbänden
Semimodulare Verbände |
24.Mai | Geometrische Verbände und Matroide; lineare Matroide, Vektor Matroide, Transversal Matroide; Kryptomorphismen |
31.Mai/2.Juni |
Mehr Kryptomorphismen: Rang Funktionen und Hüllenoperatoren;
Lattice of flats; Geometrische Verbände
Graphische Matroide und Partitionsverbände; Deletion/Contraction; Charakteristische Polynome von Matroide und Posets; Hyperebenen Arrangements und der 'Finite Field Trick' |
Lectures on polytopes. Günter Ziegler
Combinatorics and commutative algebra. Richard Stanley
Elements of algebraic topology. James Munkres
Combinatorial commutative algebra. Ezra Miller, Bernd Sturmfels
Twenty-four hours of local cohomology. Iyengar et al
Hopf Algebras in Combinatorics. Darij Grinberg, Victor Reiner
Combinatorial Reciprocity Theorems. Matthias Beck, Raman Sanyal