Was

Sei \(\mathcal{X}\) eine Klasse von Objekten, so dass \(A \cap B \in \mathcal{X} \) für alle \(A,B \in \mathcal{X}\). Eine Bewertung ist eine Abbildung \( \phi: \mathcal{X} \to \mathbb{R}\) so dass

• Ein Rechteck mit Kantenlängen \(1\) und \(\pi\) lässt sich nicht in endlich viele Quadrate unterteilen.
• Hilberts drittes Problem: Ein Würfel und ein Tetraeder lassen sich nicht aus der gleichen Menge von polyedrischen Teilen zusammensetzen.
• Das Zählen von Gitterpunkten in Gitterpolygonen unter Streckung wird durch Polynome beschrieben.

Wann und wo

Übungsaufgaben

Blatt 1

Blatt 2

Blatt 3

Blatt 4

Blatt 5

Was bisher geschah

15. Oktober	(achsen-parallele) Rechtecke in endlich viele Quadrate zerschneiden; Satz(Dehn). Geht genau dann, wenn Seitenlängen kommensurabel; Beweisstrategie: (Einfache) Bewertungen sind additiv über Zerschneidungen; Schnittfamilie der Rechtecke; Bewertungen auf Rechtecken haben Inklusions-Exklusions Eigenschaft; Bewertungen auf Rechtecken mittels Lösungen der Cauchy Funktionalgleichung; Hamel Basen von unendlich-dim Vektorräumen; Satz: Stetige und einfache Bewertungen auf Rechtecken sind Vielfache des Volumen
22. Oktober	Mengensysteme, Schnittfamilien \(\mathcal{S} \subseteq 2^X\) und Bewertungen; Inklusions-Exklusions Eigenschaft (IE); neue Schnittfamilie \(U\mathcal{S}\) als endliche Vereinigungen; Erweiterungseigenschaft (EE) von Bewertungen auf \(U\mathcal{S}\); Ring \(Ch(\mathcal{S})\) der charakteristischen Funktionen auf \(\mathcal{S}\); Inklusion-Exklusion Identität und \(Ch(U\mathcal{S}) = Ch(\mathcal{S})\); Homomorphismen von \(Ch(\mathcal{S}\) und Bewertungen; Satz: IE äquivalent zu EE äquivalent via Homomorphismen auf \(Ch(\mathcal{S})\)
29. Oktober	die universelle Bewertung \(\iota : L \to V(L)\); Bewertungen auf \(L\) in Bijektion zu Gruppenhomomorphismen von \(V(L)\); Satz: \(\iota\) injektiv genau dann, wenn \(L\) distributiv; \((L,\wedge)\) ist Halbgruppe und \(V(L)\) ein Quotientenring des Halbgruppenrings; Erzeugendensysteme von Verbänden und Bewertungen
5. November	Satz: IE, EE und Erweiterung zu Homomorphismen \( \Phi: V(L) \to G \) äquivalent; join-irreduzible Elemente \( L^\mathrm{irr} \) erzeugen \(V(L)\); Satz: \(L\) lokal endlicher distributiver Verband, dann ist \(V(L) \cong Ch(L^\mathrm{irr}) \); Kor: Jede Bewertung auf \(L\) eindeutig durch Werte auf \( L^\mathrm{irr}\) bestimmt und jede Wahl von Werten gibt Bewertung
12. November	Hyperebenen, Halbräume, Polyeder; polyhedrische Kegel, Polytope; Mengen von polyd. Kegeln, Polyedern, Polytopen, achsen-par. Boxen sind Schnittfamilien; Satz(Volland): Jede Bewertung auf diesen Familien hat IE; Schwache Bewertungen sind äquivalent zu Bewertungen auf diesen Familien; Hyperebenen Arrangements; Charakteristisches Polynom; Satz von Zaslavsky über die augmentierende Bewertung \(\varepsilon\)
19. November Abschnitte 3.4,3.6,3.7	Euler Charakteristik auf relativ-offenen Polyedern; Erweiterung auf alle Polyeder; Satz: \(\chi(P) = 1\) für Polytope \(P\); Indiktatorfunktionen und Brianchon-Gram Relation
26. November	Tangentialkegel, sichtbare Seiten; Euler-Charakteristik unter stückweise-linearen Homeomorphismen; \(V(\mathcal{Q}^d) \cong Ch(\mathcal{Q}^d)\); Pull-back und Push-forward von linaren Abbildungen
3. Dezember	Zerlegungen, Unterteilungen, Triangulierungen; baryzentrische Unterteilungen; Pushing- und Pulling-Triangulierung
10. Dezember	Satz: Jedes Polytop hat eine Triangulierung (nicht unbedingt Unterteilung) die durch Zerschneiden mit Hyperebenen entsteht (siehe auch hier); elementare Modifikationen (elementary moves) auf Triangulierungen; Satz: Schwache Bewertungseigenschaft bzgl. elementaren Modifikationen auf Simplexen lassen sich eindeutig auf Bewertungen fortsetzen (siehe auch hier)
17. Dezember	Hilberts drittes Problem und die Dehn-Invariante; Zusammenhang Brianchion-Gram, Unterteilungen, und Polarität
14. Januar	Translations-invariante Bewertungen auf (Poly)Boxen; Zerlegung in homogene und translation-invariante Bewertungen; Bewertungen invariant unter Translation und Koordinaten-Permutation; gemitteltes Volumen von Koordinatenprojektionen und elementar-symmetrische Polynome; Steiner-Polynom-artige Formel; Charakterisierung aller stetigen und invarianten Bewertungen auf Polyboxen
21. Januar	Kegel-Bewertungen, Winkel und Kombinatorik; siehe Artikel
28. Januar	Minkowskisumme gibt weitere multiplikative Struktur \(\ast\) auf \(Ch(\mathcal{Q}^d)\); die Polaritätsabbildung \(\mathcal{D}\) gibt einen Ringisomorphismus von \( (Ch(\mathcal{Q}^d),+,\ast)\) zu \( (Ch(\mathcal{Q}^d),+,\cdot)\); \(C^\triangle\) entspricht dann Fouriertransformierter von \(C\); invertierbare Elemente in \( (Ch(\mathcal{P}^d),+,\ast)\); Beziehungen zur Grothendieck Grouppe des Monoids \( (\mathcal{P}^d,+) \) und zur Gruppe der stückweise-linearen Funktionen
4. Februar	Polynome und Differenzenoperatoren; \( \prod_{v \in V(P)} ([P] - [v]) = 0 \in Ch(\mathcal{P}^d)\); die Polytop Algebra als universelle translations-inv Bewertung; graduierte Struktur

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