Sei X eine Klasse von Objekten, so dass A∩B∈X für alle A,B∈X. Eine Bewertung ist eine Abbildung ϕ:X→R so dass
Vorlesung: | Dienstag | 14 - 16 Uhr | RM10 110 | |
Übung: | Montag | 10 - 12 Uhr | RM10 110 | findet zweiwöchentlich ab dem 28.10. statt |
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15. Oktober | (achsen-parallele) Rechtecke in endlich viele Quadrate zerschneiden; Satz(Dehn). Geht genau dann, wenn Seitenlängen kommensurabel; Beweisstrategie: (Einfache) Bewertungen sind additiv über Zerschneidungen; Schnittfamilie der Rechtecke; Bewertungen auf Rechtecken haben Inklusions-Exklusions Eigenschaft; Bewertungen auf Rechtecken mittels Lösungen der Cauchy Funktionalgleichung; Hamel Basen von unendlich-dim Vektorräumen; Satz: Stetige und einfache Bewertungen auf Rechtecken sind Vielfache des Volumen |
22. Oktober | Mengensysteme, Schnittfamilien S⊆2X und Bewertungen; Inklusions-Exklusions Eigenschaft (IE); neue Schnittfamilie US als endliche Vereinigungen; Erweiterungseigenschaft (EE) von Bewertungen auf US; Ring Ch(S) der charakteristischen Funktionen auf S; Inklusion-Exklusion Identität und Ch(US)=Ch(S); Homomorphismen von Ch(S und Bewertungen; Satz: IE äquivalent zu EE äquivalent via Homomorphismen auf Ch(S) |
29. Oktober | die universelle Bewertung ι:L→V(L); Bewertungen auf L in Bijektion zu Gruppenhomomorphismen von V(L); Satz: ι injektiv genau dann, wenn L distributiv; (L,∧) ist Halbgruppe und V(L) ein Quotientenring des Halbgruppenrings; Erzeugendensysteme von Verbänden und Bewertungen |
5. November | Satz: IE, EE und Erweiterung zu Homomorphismen Φ:V(L)→G äquivalent; join-irreduzible Elemente Lirr erzeugen V(L); Satz: L lokal endlicher distributiver Verband, dann ist V(L)≅Ch(Lirr); Kor: Jede Bewertung auf L eindeutig durch Werte auf Lirr bestimmt und jede Wahl von Werten gibt Bewertung |
12. November | Hyperebenen, Halbräume, Polyeder; polyhedrische Kegel, Polytope; Mengen von polyd. Kegeln, Polyedern, Polytopen, achsen-par. Boxen sind Schnittfamilien; Satz(Volland): Jede Bewertung auf diesen Familien hat IE; Schwache Bewertungen sind äquivalent zu Bewertungen auf diesen Familien; Hyperebenen Arrangements; Charakteristisches Polynom; Satz von Zaslavsky über die augmentierende Bewertung ε |
19.
November Abschnitte 3.4,3.6,3.7 |
Euler Charakteristik auf relativ-offenen Polyedern; Erweiterung auf alle Polyeder; Satz: χ(P)=1 für Polytope P; Indiktatorfunktionen und Brianchon-Gram Relation |
26. November | Tangentialkegel, sichtbare Seiten; Euler-Charakteristik unter stückweise-linearen Homeomorphismen; V(Qd)≅Ch(Qd); Pull-back und Push-forward von linaren Abbildungen |
3. Dezember | Zerlegungen, Unterteilungen, Triangulierungen; baryzentrische Unterteilungen; Pushing- und Pulling-Triangulierung |
10. Dezember | Satz: Jedes Polytop hat eine Triangulierung (nicht unbedingt Unterteilung) die durch Zerschneiden mit Hyperebenen entsteht (siehe auch hier); elementare Modifikationen (elementary moves) auf Triangulierungen; Satz: Schwache Bewertungseigenschaft bzgl. elementaren Modifikationen auf Simplexen lassen sich eindeutig auf Bewertungen fortsetzen (siehe auch hier) |
17. Dezember | Hilberts drittes Problem und die Dehn-Invariante; Zusammenhang Brianchion-Gram, Unterteilungen, und Polarität |
14. Januar | Translations-invariante Bewertungen auf (Poly)Boxen; Zerlegung in homogene und translation-invariante Bewertungen; Bewertungen invariant unter Translation und Koordinaten-Permutation; gemitteltes Volumen von Koordinatenprojektionen und elementar-symmetrische Polynome; Steiner-Polynom-artige Formel; Charakterisierung aller stetigen und invarianten Bewertungen auf Polyboxen |
21. Januar | Kegel-Bewertungen, Winkel und Kombinatorik; siehe Artikel |
28. Januar | Minkowskisumme gibt weitere multiplikative Struktur ∗ auf Ch(Qd); die Polaritätsabbildung D gibt einen Ringisomorphismus von (Ch(Qd),+,∗) zu (Ch(Qd),+,⋅); C△ entspricht dann Fouriertransformierter von C; invertierbare Elemente in (Ch(Pd),+,∗); Beziehungen zur Grothendieck Grouppe des Monoids (Pd,+) und zur Gruppe der stückweise-linearen Funktionen |
4. Februar | Polynome und Differenzenoperatoren; ∏v∈V(P)([P]−[v])=0∈Ch(Pd); die Polytop Algebra als universelle translations-inv Bewertung; graduierte Struktur |