Vorlesung
Diskrete und konvexe Geometrie 2
Sommersemester 2022
Aenne Benjes
Was
Die Vorlesung ist eine Fortsetzung der VL "Diskrete und konvexe
Geometrie" aus dem Wintersemester 2021/22. Ziel der Vorlesung ist ein
tiefer Einstieg in Konzepte der Konvexgeometrie und Polyedergeometrie
mit Hilfe von diskret-geometrischen Hilfsmitteln. Genauer wollen wir
uns die folgenden Konzepte/Resultate erarbeiten:
- Darstellungen von konvexen Körpern / Polytopen (extreme
points, separating hyperplanes, support/distance functions,
closest point maps)
-
(Elementares)Volumen konvexer Körper (Existenz und
Eindeutigkeit, Konstruktion, Hilberts drittes Problem)
-
Berechnung von Volumina (baryzentrische und
reguläre Unterteilungen, Lawrence-Varchenko Formeln,
Komplexität und Approximation)
-
Geometrische Ungleichungen (Brunn-Minkowski,
Alexandrov-Fenchel, Isoperimetrische Ungleichungen)
Als Anwendungen werden die folgenden Resultate angerissen:
-
Minkowski Existenz-/Eindeutigkeitssatz: Jedes Polytop ist
eindeutig(!) bis auf Translation durch seine
Facettenrichtungen und Facettenvolumina bestimmt
-
Skalierte Bälle maximieren das Volumen bei gegebener
Oberfläche.
-
Volumenverteilung in hohen Dimensionen ist absolut
unintuitiv (wenn man ab Dimension 4 überhaupt auf Intuition
hoffen kann).
-
Die Anzahl der Nullstellen von Polynomsystemen kann durch
das gemischte Volumen von assoziierten (Newton)Polytopen
abgeschätzt werden.
Bitte im OLAT für die VL anmelden!
Wann und wo
Vorlesung: |
Mittwoch |
12 - 14 Uhr |
RM10 109c
am 27.4.22
|
|
Mittwoch |
12 - 14 Uhr |
RM10 711kl
ab dem 4.5.22
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Übung: |
Montag |
12 - 14 Uhr |
RM10 903 |
Spielregeln
-
Es wird Übungsblätter geben. Die
Bearbeitung der Übungsblätter ist nicht notwendig für die
Teilnahme an der Abschlussprüfung, wird aber empfohlen.
Voraussichtlich wird es ein Bonussystem geben.
-
Die Abschlussprüfung findet in der letzten Vorlesungswoche
statt. Abhängig von der Anzahl Teilnehmer wird die Abschlussprüfung
mündlich oder schriftlich sein.
- Es wird weiter unten handschriftliche
Vorlesungsnotizen geben. Diese Notizen sind ohne ein Besuch der
Vorlesung vermutlich nicht verständlich, aber sollten helfen den
Stoff aus der Vorlesung nachvollziehen zu können.
-
Im Rahmen der Übungen werden
wir Sage
verwenden. Um einen möglichst reibungsfreien Ablauf zu
ermöglichen, ist es hilfreich, wenn Sie, soweit möglich, sich
Sage auf Ihre Laptops installieren würden. Alternativ ist es auch
möglich, mit einem Account bei
Cocalc
Sage zu verwenden.
Übungsaufgaben
Übungsaufgaben befinden sich im OLAT.
Literatur
Lectures on polytopes. Günter Ziegler
A course in convexity. Barvinok, Alexander
Convex polytopes. Branko Grünbaum
Convex and discrete geometry. Peter Gruber
Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory. Rolf Schneider
Combinatorial Reciprocity Theorems. Matthias Beck, Raman Sanyal
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