Was

Die Vorlesung ist eine Fortsetzung der VL "Diskrete und konvexe Geometrie" aus dem Wintersemester 2021/22. Ziel der Vorlesung ist ein tiefer Einstieg in Konzepte der Konvexgeometrie und Polyedergeometrie mit Hilfe von diskret-geometrischen Hilfsmitteln. Genauer wollen wir uns die folgenden Konzepte/Resultate erarbeiten:

• Darstellungen von konvexen Körpern / Polytopen (extreme points, separating hyperplanes, support/distance functions, closest point maps)
• (Elementares)Volumen konvexer Körper (Existenz und Eindeutigkeit, Konstruktion, Hilberts drittes Problem)
• Berechnung von Volumina (baryzentrische und reguläre Unterteilungen, Lawrence-Varchenko Formeln, Komplexität und Approximation)
• Geometrische Ungleichungen (Brunn-Minkowski, Alexandrov-Fenchel, Isoperimetrische Ungleichungen)

• Minkowski Existenz-/Eindeutigkeitssatz: Jedes Polytop ist eindeutig(!) bis auf Translation durch seine Facettenrichtungen und Facettenvolumina bestimmt
• Skalierte Bälle maximieren das Volumen bei gegebener Oberfläche.
• Volumenverteilung in hohen Dimensionen ist absolut unintuitiv (wenn man ab Dimension 4 überhaupt auf Intuition hoffen kann).
• Die Anzahl der Nullstellen von Polynomsystemen kann durch das gemischte Volumen von assoziierten (Newton)Polytopen abgeschätzt werden.

Wann und wo

Spielregeln

• Es wird Übungsblätter geben. Die Bearbeitung der Übungsblätter ist nicht notwendig für die Teilnahme an der Abschlussprüfung, wird aber empfohlen. Voraussichtlich wird es ein Bonussystem geben.
• Die Abschlussprüfung findet in der letzten Vorlesungswoche statt. Abhängig von der Anzahl Teilnehmer wird die Abschlussprüfung mündlich oder schriftlich sein.
• Es wird weiter unten handschriftliche Vorlesungsnotizen geben. Diese Notizen sind ohne ein Besuch der Vorlesung vermutlich nicht verständlich, aber sollten helfen den Stoff aus der Vorlesung nachvollziehen zu können.
• Im Rahmen der Übungen werden wir Sage verwenden. Um einen möglichst reibungsfreien Ablauf zu ermöglichen, ist es hilfreich, wenn Sie, soweit möglich, sich Sage auf Ihre Laptops installieren würden. Alternativ ist es auch möglich, mit einem Account bei Cocalc Sage zu verwenden.

Übungsaufgaben

Literatur

Lectures on polytopes. Günter Ziegler

A course in convexity. Barvinok, Alexander

Convex polytopes. Branko Grünbaum

Convex and discrete geometry. Peter Gruber

Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory. Rolf Schneider

Combinatorial Reciprocity Theorems. Matthias Beck, Raman Sanyal

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