Was

Die Vorlesung ist eine Fortsetzung der VL "Diskrete und konvexe Geometrie" aus dem Wintersemester 18/19. Ziel der Vorlesung ist ein tiefer Einstieg in Konzepte der Konvexgeometrie und Polyedergeometrie mit Hilfe von diskret-geometrischen Hilfsmitteln. Genauer wollen wir uns die folgenden Konzepte/Resultate erarbeiten:

• Darstellungen von konvexen Körpern / Polytopen (extreme points, separating hyperplanes, support/distance functions, closest point maps)
• (Elementares)Volumen konvexer Körper (Existenz und Eindeutigkeit, Konstruktion, Hilberts drittes Problem)
• Berechnung von Volumina (baryzentrische und reguläre Unterteilungen, Lawrence-Varchenko Formeln, Komplexität und Approximation)
• Geometrische Ungleichungen (Brunn-Minkowski, Alexandrov-Fenchel, Isoperimetrische Ungleichungen)

• Minkowski Existenz-/Eindeutigkeitssatz: Jedes Polytop ist eindeutig(!) bis auf Translation durch seine Facettenrichtungen und Facettenvolumina bestimmt
• Skalierte Bälle maximieren das Volumen bei gegebener Oberfläche.
• Volumenverteilung in hohen Dimensionen ist absolut unintuitiv (wenn man ab Dimension 4 überhaupt auf Intuition hoffen kann).
• Die Anzahl der Nullstellen von Polynomsystemen kann durch das gemischte Volumen von assoziierten (Newton)Polytopen abgeschätzt werden.

Wann und wo

Spielregeln

• Es wird Übungsblätter alle 1-2 Wochen geben. Die Bearbeitung der Übungsblätter ist nicht notwendig für die Teilnahme an der Abschlussprüfung, wird aber empfohlen. Voraussichtlich wird es ein Bonussystem geben.
• Die Abschlussprüfung findet in der letzten Vorlesungswoche statt. Abhängig von der Anzahl Teilnehmer wird die Abschlussprüfung mündlich oder schriftlich sein.
• Es wird weiter unten handschriftliche Vorlesungsnotizen geben. Diese Notizen sind ohne ein Besuch der Vorlesung vermutlich nicht verständlich, aber sollten helfen den Stoff aus der Vorlesung nachvollziehen zu können.
• Im Rahmen der Übungen werden wir Sage verwenden. Um einen möglichst reibungsfreien Ablauf zu ermöglichen, ist es hilfreich, wenn Sie, soweit möglich, sich Sage auf Ihre Laptops installieren würden. Alternativ ist es auch möglich, mit einem Account bei Cocalc Sage zu verwenden.

Übungsaufgaben

Abgabe: 30. April	Blatt 1
Abgabe: 22. Mai	Blatt 2
Abgabe: 5. Juni	Blatt 3
Abgabe: 19. Juni	Blatt 4
Abgabe: 3. Juli	Blatt 5
Abgabe: 10. Juli	Blatt 6

Was bisher geschah

17. April	Aussicht zu den Themen (siehe oben); konvexe Mengen und Beispiele: affine Räume, Einheitsbälle, positive Polynome, positiv-semidefinite Matrizen, Polyeder, Epigraphen konvexer Funktionen; konvexe Hülle, konvexe Körper und Polytope; Satz von Caratheodory; konvexe Hüllen kompakter Mengen sind konvexe Körper; Extrempunkte und Satz von Minkowski; zulässige und stützende Hyperebenen; trennende Hyperebenen und Trennungssätze; metrische Projektion ("Nachste-Punkte-Abbildung") und Charakterisierung abgeschlossener konvexer Mengen; Stützfunktionen und Eigenschaften (positiv-homogen und subadditiv)
24. April	Stützfunktionen sind genau die positiv-homogenen und subadditiven Funktionen; Konvexe Körper bilden abstrakten Kegel unter Minkowskiaddition; Kegel ist isomorph zu Kegel der positiv-homogenen und subadditiven Funktionen; äußerer Parallelkörper und Hausdorff-Distanz; Hausdorff-Distanz über Stützfunktionen; Konvexe Körper können beliebig genau durch Polytope approximiert werden; Distanzfunktionen und Polarität
8. Mai	(gewollte) Eigenschaften von Volumen: stetig, translations-invariant / starre Bewegungen, monotone / nicht-negativ, einfach / homogen vom Grad d, normalisiert, Bewertung; Warum nicht Lebesgue Maß?; Hilberts 3tes Problem; Schnittfamilen und Bewertungen; Inklusions-Exklusions- und Erweiterungs-Eigenschaft; Grömer: beides äquivalent; Volland: Bewertungen von Polytopen haben IE-Eigenschaft; schwache Bewertungen; Grömer: stetige Bewertungen auf konvexen Körpern haben IE-Eigenschaft
15. Mai	Satz: Zwei translations-inv, monotone und einfache Bewertungen auf Polytopen mit gleichem Wert auf dem Einheitswürfel sind identisch; Kor: Jede solche Bewertung ist invariant unter starren Bewegungen und homogen vom Grad d; Definition von Volumen über Stützfunktionen; Intuition: Zerlegung in Pyramiden über Facetten; Satz: Jedes Polytop kann in Simplexe zerlegt werden; baryzentrische Unterteilungen
22. Mai	Zwei andere Arten der Zerlegung: Pulling und Pushing Triangulierungen; Triangulierung des Würfels; Berechnung von konvexen Hüllen
29. Mai	Lemma: Summe Einheitsfacettennormalen mal Facettenvolumen = 0; Minkowskis Existenz- und Eindeutigkeitssatz; Beweis über obere und untere Facetten; Projektionskörper; reguläre Unterteilungen durch liften von Punktkonfigurationen; Pulling und Pushing Triangulierungen als reguläre Unterteilungen; nicht jede Unterteilung ist regulär
5. Juni	Satz (Minkowski): Volumen positiver Minkowskisumme ist homogenes Polynom; gemischte und exakte Unterteilungen; Cayley Polytope und Cayley Trick; Volumen von Zonotopen; Volumen von graphischem Zonotop ist Anzahl aufspannender Bäume; Lawrence Polytope und equidecomposability
12. Juni	gemischtes Volumen als (gemischter) Koeffizient des Volumenpolynoms; alle Koeffizienten des Volumenpolynoms sind gemischte Volumen; Eigenschaften: symmetrisch, stetig, invariant unter starren Bewegungen, normalisiert und multilinear; Satz: gemischtes Volumen ist nicht-negativ und monoton; spezielle Formeln zur Berechnung des gemischten Volumens
19. Juni	Inklusion-Exklusion Formel für das gemischte Volumen; Anwendung: Nullstellen von Polynomsystemen und das BKK-Theorem; Arithmetische-geometrische Ungleichung; Isoperimetrisches Problem für Rechtecke; Minkowski Ungleichung und Interpretation für Volumina von Boxen; Brunn-Minkowski Ungleichung
26. Juni	Polyboxen; Brunn-Minkowski Ungleichung für Polyboxen (Beweis nach Hadwiger-Ohmann); BM für Polyboxen impliziert BM für konvexe Körper (wenn man vorsichtig ist mit Gleichheitsfällen); Anwendung: Brunns Schnittungleichung: Volumina paralleler Schnitte ist unimodal.
3. Juli	Minkowski's Existenz- und Eindeutigkeitssatz; Nicht-leere Polytope mit fixer linker Seite \(\mathcal{B}_A = \{ b : P_A(b) \neq \emptyset \}\); Die Menge \( \mathcal{M}_A = \{ b \in \widetilde{\mathcal{B}} : V(P_A(b)) \ge 1 \}\) ist strikt konvex (modulo Linearitätraum)
10. Juli	Anwendungen: zentral-symmetrische Polytope; Isoperimetrisches Problem; Oberfläche via gemischten Volumen und Steiner Polynom; Isoperimetrische Ungleichung und Minkowskis erste Ungleichung; Isoperimetrischer Quotient und umschriebene Polytope

Literatur

Lectures on polytopes. Günter Ziegler

A course in convexity. Barvinok, Alexander

Convex polytopes. Branko Grünbaum

Convex and discrete geometry. Peter Gruber

Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory. Rolf Schneider

Combinatorial Reciprocity Theorems. Matthias Beck, Raman Sanyal

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