Was

Diese Vorlesung gibt eine Einführung in die Algebraische Kombinatorik. Im ersten Teil der Vorlesung werden Mengensysteme (Simplizialkomplete, Multikomplexe, Ordnungsideale etc.) durch Monomideale dargestellt und mit Mitteln der kommutativen und homologischen Algebra (Hilbert-Funktionen, Betti-Zahlen, Auflösungen etc.) untersucht. Dabei lernen wir starke Zusammenhänge zwischen den kombinatorischen, algebraischen und topologischen Eigenschaften der Objekte kennen (z. B. Reisners Theorem). Falls die Zeit es zulässt machen wir einen kurzen Abstecher zu Punktkonfigurationen, torischen Idealen und Triangulierungen. Im zweiten Teil der Vorlesung betrachten wir nicht-kommutative algebraische Strukturen auf Klassen von kombinatorischen Objekten (z. B. Inzidenzkoalgebren). Das bringt uns zur Theorie der Ko-/Bialgebren und der kombinatorischen Hopfalgebren. Insbesondere werden wir uns für Malvenuto-Reutenauer Hopfalgebra der Permutationen und quasisymmetrische Funktionen (sowas wie unendlichen Permutationen) interessieren.

Wann und wo

Spielregeln

• Es wird Übungsblätter alle 1-2 Wochen geben. Die Bearbeitung der Übungsblätter ist nicht notwendig für die Teilnahme an der Abschlussprüfung, wird aber empfohlen. Voraussichtlich wird es ein Bonussystem geben.
• Die Abschlussprüfung findet in der letzten Vorlesungswoche statt. Abhängig von der Anzahl Teilnehmer wird die Abschlussprüfung mündlich oder schriftlich sein.
• Es wird weiter unten handschriftliche Vorlesungsnotizen geben. Diese Notizen sind ohne ein Besuch der Vorlesung vermutlich nicht verständlich, aber sollten helfen den Stoff aus der Vorlesung nachvollziehen zu können.
• Im Rahmen der Übungen werden wir Sage verwenden. Um einen möglichst reibungsfreien Ablauf zu ermöglichen, ist es hilfreich, wenn Sie, soweit möglich, sich Sage auf Ihre Laptops installieren würden. Alternativ ist es auch möglich, mit einem Account bei Cocalc Sage zu verwenden.

Übungsaufgaben

Abgabe: 30. April	Blatt 1
Abgabe: 7. Mai	Blatt 2
Abgabe: 14. Mai	Blatt 3
Abgabe: 21. Mai	Blatt 4
Abgabe: 28. Mai	Blatt 5
Abgabe: 4. Juni	Blatt 6
Abgabe: 11. Juni	Blatt 7
Abgabe: 18. Juni	Blatt 8
Abgabe: 25. Juni	Blatt 9
Abgabe: 2. Juli	Blatt 10
Abgabe: 9. Juli	Blatt 11

Was bisher geschah

16/18. April	Mengen, Teilmengen, Binomialkoeffizienten; Eigenschaften via multivariater Polynome: Rekursion (Enumeration), Symmetrie (lineare Relationen), Ungleichungen (unimodal, log-konkav); Mengensysteme aus der diskreten Mathematik: Kantenmengen kreisfreier Untergraphen, stabile Knotenmengen von Graphen, linear-unabhängige Teilmengen einer Vektorkonfiguration, Teilbarkeitsketten von natürlichen Zahlen, Positionen nicht-schlagender Türme auf Schachbrettern, Nicht-kreuzende Diagonalen in Polygonen; Enumeration und Eigenschaften mittels Algebra; multivariate Polynome und Quadratfreier Unterring; perfekte Paarung und Symmetrie von Binomialkoeffizienten; Linearformen und Unimodalität; (Kurzer Ausblick nicht-kommutative Polynome) Geometrie: Polytope und Seitenflächen; (Knoten)Mengen von Seitenflächen und f-Vektoren; Upper Bound Problem und simpliziale Polytope; Zyklische Polytope und Nachbarschaftlichkeit; McMullens Upper Bound Theorem (Motzkin Vermutung plus Gleichheitsfall); f-Vektoren und h-Vektoren: Nicht-negativität und Dehn-Sommerville Gleichungen; Upper Bound Theorem in h-Vektoren; Interpretation via Multimengen
23/25. April	Abstrakte Simplizialkomplexe und (bisherige) Beispiele; Dimension, Ecken, Kanten, Facetten; Graphen von Komplexen und Zusammenhang; reine Komplexe; f- und h-Vektoren und Polynome; partitionierbare Komplexe haben nicht-negative h-Vektoren; Simplexe und geometrische Simplizialkomplexe; Satz: abstrakte und geometrische Simplizialkomplexe sind das gleiche; Beispiel zum ausprobieren: Homöomorphe Komplexe; Ränder von simplizialen Polytopen gleicher Dimension sind homöomorph; simpliziale Sphären; es gibt simpliziale 3-Sphären die nicht von Rändern von 4-Polytopen kommen; modellieren von geometrischen/topologischen Objekten durch Simplizialkomplexe; Satz: Ob ein 3-Komplex eine Sphäre ist ist unentscheidbar; Invarianten um Komplexe zu unterscheiden: simpliziale Homologie; Kettengruppen und Randabbildungen; Kettenkomplexe, Ketten- und Randgruppen; simpliziale Homologie; Satz: Homöomorphe Komplexe haben gleiche Homologie
30. April/2. Mai	(-1)ste und 0-te Homologie; Homologie von Graphen; Homologie von Simplexen und, allgemeiner, von Kegeln; Kegel sind azyklische Komplexe; Homologie simplizialer Sphären; triangulierte Tori und Homologiebasen; reduzierte Bettizahlen und Flächen (Unter)mannigfaltigkeiten; (abgeschlossene) Sterne und Links; Join von Komplexen; kombinatorische Mannigfaltigkeiten; Pseudomannigfaltigkeiten; duale Graphen und starker Zusammenhang; Homologie-Mannigfaltigkeiten und Homologie-Spähren; Upper Bound Theorem for homology spheres; Euler Charakteristik als alternierende Summe über f-Vektor or Betti-Vektor; Kurze exakte Sequenzen
7/9. Mai	Mayer-Vietoris Sequenz; konstruierbare und schälbare Komplexe; schälbar impliziert konstruierbar impliziert Homoligie von Bouquet von gleich-dim Sphären; schälbar impliziert partitionierbar Satz: Schälbare Pseudomannigfaltigkeiten sind Sphären; Links und Sterne schälbarer Komplexe sind schälbar; Satz: (simpliziale) Polytope sind schälbar (Stichwort: Raketenflug); Matroide und unahbängige Mengen; Graphische Matroide; Vektormatroide; Punktkonfigurationen; Basen und Rang; Charakterisierung von Basen
14/16. Mai	Kreise von Matroiden; lexikographische Ordnung; Satz: Jede lexikographische Ordnung der Basen ist eine Schälung des Komplex der unabhängigen Mengen; Charaktierisierung von unabhängigen Matroiden über lexikographische Schälungen; Beispiel!; Partiell-geordnete Mengen (Posets); Inklusion-Exklusion und Möbiusinversion Inzidenzalgebra eines Posets; Kriterium für die Existenz von Inversen; lineare Erweiterungen und obere Dreiecksmatrizen mit vorgeschriebenen 0-Einträgen; Zeta- und Möbiusfunktionen; Kombinatorik mit Zeta-Funktionen; Zeta-Polynome
21/23. Mai	Ordnungskomplexe; Satz(Hall): Möbiusfunktionen und reduzierte Euler-Charakteristik von Ordnungskomplexen; graduierte Posets; baryzentrische Unterteilungen von Simplizialkomplexen; (semi-)Eulersche Posets und Homologie-Mannigfaltigkeiten; Vorzeichen-alternierende Posets und schälbare Ordnungskomplexe Ränge von Ketten in graduierten Posets; Fahnen-f-Vektoren und Fahnen-h-Vektoren; maximale Ketten in rank-selected Posets; Satz: Für Bool'sche Verbände zählt beta(S) die Anzahl Permutationen mit Abstiegsmenge S; R-Beschrifungen und R-Posets; Satz: Für ein R-Poset ist der Fahnen-h-Vektor nichtnegativ
27. Mai	Beispiel und Beweis zu R-Beschriftungen; Supremum, Infimum und Verbände; distributive Verbände und Birkhoff Theorem; lattices of flats; semimodulare Verbände; Satz: Semimodulare Verbände haben R-Beschriftung; L-Beschriftung und EL-schälbare Posets; Satz: L-Beschriftung impliziert Ordnungskomplex schälbar Das Beispiel hier zeigt das 'lattice of flats' aus der Vorlesung samt R-Beschriftung und der lexikographischen Ordnung der Beschriftungen auf allen maximalen Ketten:
3+5. Juni	assoziative Algebren; unitär und kommutativ; Beispiele: Produkte, Funktionen, multivariate Polynomringe; Halbgruppenalgebren und nicht kommutative Polynomringe; binäre Relationen und Inzidenzalgebren; Algebra-Homomorphismen und Isomorphie Bilder von Algebra-Homomorphismen sind Unteralgebren; endlich-erzeugte (Unter)Algebren; Kern eines Algebra-Homomorphismus und Ideale; Quotienten nach Idealen sind Algebren; nipotente Elemente und Nullteiler; reduzierte Algebren und Integritätsbereiche; radikale Ideale und Primideale; Aufsteigende Ketten Bedingung und noethersche Algebren; Prop: alle Ideale endlich erzeugt gdw noethersch; Hilbert'scher Basissatz
11+13. Juni	Moduln über Algebren; endlich-erzeugt und frei; noethersche Moduln; Prop: Wenn A noethersch, dann ist jeder endlich-erzeugte Modul noethersch; G-graduierte / multigraduierte Algebren; homogene Algebrahomomorphismen, homogene Ideale und Quotienten; positive Multigraduierungen positive Multigraduierung: alle graduierten Bestandteile haben endliche Dimension; multigraduierte Hilbert-Funktionen/-Reihen; Satz: Hilbert-Reihe ist rational
18+18. Juni	fein graduierte Polynomringe und Monomideale; fein-graduierte Hilbertreihen; Vergröberung der Graduierung und Spezialisierung der Hilbertreihe; standard graduierte Algebren; Stanley-Reisner ringe; minimale Nichtseiten; feine Hilbertreihen Vergröberung und h-Vektoren; Poset Ringe als Stanley-Reisner Ringe von Ordnungskomplexen; graduierte Posets, Graduierungen und Fahnen-Vektoren; Lemma zur Reziprozität feiner Hilbertreihen; Homologie-Sphären und Dehn-Sommerville Gleichungen
25+27. Juni	Wann sind h-Vektoren nicht-negativ?; reguläre Elemente und Sequenzen; Tiefe eines Moduls; algebraische Unabhängigkeit und Krull Dimension; Ganzheit und Noether Normalisierung; Krull Dimension als Ordnung Pol von Hilbertreihe;
2. Juli 4. Juli	Cohen-Macaulay Ringe und Cohen-Macaulay Komplexe; Satz: \( \Gamma \) Cohen-Macaulay \( \Rightarrow h_i(\Gamma) \ge 0 \) für alle \(i\); Kor (Upper Bound Theorem): \(\Gamma\) d-1 Dim und CM, dann \(h_i(\Gamma) \le h_i(Cyc_d(n))\) für \( i \le \frac{d}{2}\); Cohen-Macaulay Ringe sind freie Moduln über der Unteralgebra einer regulären Sequenz Wie findet man lsops eines Stanley-Reisner Rings; Schälbare Komplexe sind Cohen-Macaulay
9+11. Juli	Homologischer Zugang zu Tiefe; Kozul Komplexe für 1 und 2 Elemente; Kozul Komplexe allgemein entdecken reguläre Sequenzen kurzer Ausblick auf Chech Komplexe (und lokale Kohomologie); Multimengen, Multikomplexe und Hilbert Funktionen; Macaulay: alle möglichen Hilbert Funktionen werden auf Monomidealen realisiert; O-Sequenzen und Charakterisierung; h-Vektoren von schälbaren/CM Komplexen

Literatur

Lectures on polytopes. Günter Ziegler

Combinatorics and commutative algebra. Richard Stanley

Elements of algebraic topology. James Munkres

Combinatorial commutative algebra. Ezra Miller, Bernd Sturmfels

Twenty-four hours of local cohomology. Iyengar et al

Hopf Algebras in Combinatorics. Darij Grinberg, Victor Reiner

Combinatorial Reciprocity Theorems. Matthias Beck, Raman Sanyal

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